Laskin – näin se toimii ja miksi se joskus erehtyy

Laskin on niin arkinen työkalu, ettei sen toimintaa juuri ajattele. Silti se antaa toisinaan tuloksia, jotka näyttävät virheellisiltä – ja kaksi eri laskinta voi antaa samasta laskusta eri vastauksen.

Tässä artikkelissa käydään läpi, miten digitaalinen laskin todella toimii, miksi se joskus erehtyy ja mitä eroa on verkkolaskimella, sovelluksella ja taulukkolaskennalla.

Laskimen lyhyt historia

Laskemisen apuvälineitä on käytetty tuhansia vuosia. Helmitaulu eli abakus on niistä tunnetuin, ja sen juuret ulottuvat antiikkiin asti.

Mekaanisten laskukoneiden historiassa esitetään usein, että Blaise Pascal keksi laskimen vuonna 1642. Tarina on kuitenkin monimutkaisempi.

1623. Saksalainen Wilhelm Schickard rakensi laitteen, jota hän kutsui laskukelloksi. Se yhdisti Napierin luut kerto- ja jakolaskuun sekä hammaspyörämekanismin yhteen- ja vähennyslaskuun. Laite tuhoutui tulipalossa, ja tieto siitä säilyi vain Schickardin Johannes Keplerille lähettämissä kirjeissä.

1642. Pascal rakensi Pascaline-nimisen laskukoneen. Sen erityisyys oli, että se todella valmistettiin ja sitä käytettiin – useita kappaleita on säilynyt tähän päivään.

1673. Gottfried Leibniz kehitti porrasrullalaskimen, joka osasi kertoa suoraan.

Miksi Pascalia on pidetty ensimmäisenä? Schickardin kirjeet olivat kadoksissa noin kolmesataa vuotta, ja ne löydettiin vasta 1900-luvulla. Siihen asti Pascalia pidettiin keksijänä.

Miksi laskin antaa joskus ”väärän” vastauksen

Tämä on digitaalisten laskimien kiinnostavin ominaisuus, ja se yllättää useimmat.

Kokeile laskea koneella tai ohjelmointikielellä 0,1 + 0,2. Vastaus ei välttämättä ole 0,3, vaan jotain kuten 0,30000000000000004.

Kyseessä ei ole vika vaan seuraus siitä, miten tietokone esittää desimaalilukuja.

Syy on lukujärjestelmässä. Tietokone tallentaa luvut binäärimuodossa eli kakkosjärjestelmässä. Osa desimaaliluvuista ei muunnu binääriksi tarkasti, aivan kuten murtoluku 1/3 ei muunnu desimaaliksi tarkasti – siitä tulee 0,3333… loputtomasti.

Luku 0,1 on binäärissä juuri tällainen päättymätön jono. Kone tallentaa siitä likiarvon, ja likiarvot kertyvät laskutoimituksissa.

Milloin tällä on merkitystä. Arkilaskuissa ei juurikaan, koska laskimet pyöristävät tuloksen näytöllä. Merkitystä on silloin, kun verrataan lukuja keskenään tai lasketaan rahaa suurina erinä. Tästä syystä taloussovelluksissa käytetään usein erillisiä tarkkuustyyppejä tai lasketaan sentteinä kokonaislukuina.

Kaksi laskinta, kaksi vastausta

Sama lauseke voi tuottaa eri tuloksen eri laskimessa. Tämä johtuu kahdesta asiasta.

Laskujärjestys

Yksinkertaiset laskimet suorittavat laskut siinä järjestyksessä kuin ne syötetään. Tieteelliset laskimet ja verkkolaskimet noudattavat matemaattista laskujärjestystä.

Esimerkiksi lauseke 2 + 3 × 4 antaa yksinkertaisella laskimella tuloksen 20, koska se laskee ensin 2 + 3 ja kertoo sitten neljällä. Laskujärjestystä noudattava laskin antaa 14, koska kertolasku suoritetaan ennen yhteenlaskua.

Kumpikaan ei ole rikki. Ne noudattavat eri sääntöä.

Asteet ja radiaanit

Trigonometristen funktioiden yhteydessä tämä on yleisin virhelähde.

Kulmia voidaan mitata asteina tai radiaaneina. Laskin on aina jommassakummassa tilassa, ja sama syöte tuottaa eri tuloksen tilan mukaan.

Esimerkiksi sin(90) on astetilassa 1, mutta radiaanitilassa noin 0,894. Jos vastaus tuntuu oudolta trigonometrisessa laskussa, tila kannattaa tarkistaa ensimmäisenä.

Erikoistoiminnot

Trigonometriset funktiot (sin, cos, tan) kuvaavat suorakulmaisen kolmion sivujen suhteita kulmiin. Esimerkiksi sini on kulman vastaisen sivun suhde hypotenuusaan. Niitä käytetään geometriassa, fysiikassa ja tekniikassa.

Logaritmi on eksponenttifunktion käänteisfunktio. Se vastaa kysymykseen, mihin potenssiin kantaluku on korotettava, jotta saadaan haluttu luku. Käytännön sovelluksia ovat esimerkiksi eksponentiaalisen kasvun ajan laskeminen ja logaritmiset asteikot, kuten desibeli.

Tilastolliset funktiot laskevat aineistosta tunnuslukuja: keskiarvon, mediaanin ja hajonnan. Keskiarvo kuvaa yleistasoa, mediaani on järjestetyn aineiston keskimmäinen arvo, ja hajonta kertoo, kuinka paljon arvot poikkeavat keskiarvosta.

Rahoitusfunktiot laskevat esimerkiksi lainan kuukausierän, koron kertymisen tai investoinnin tuoton. Tuloksen luotettavuus riippuu täysin syötettyjen tietojen oikeellisuudesta, joten esimerkiksi lainalaskurin tulos on arvio, ei tarjous.

Verkkolaskin, sovellus vai taulukkolaskenta

Eri työkalut soveltuvat eri tehtäviin.

Verkkolaskin sopii yksittäisiin laskuihin. Ei asennusta, mutta laskua ei voi tallentaa eikä toistaa myöhemmin.

Laskinsovellus toimii ilman verkkoyhteyttä ja on aina samanlainen. Käyttöliittymä on tuttu ja vakaa.

Taulukkolaskenta on oikea valinta, kun samat laskut toistuvat tai kun tiedot muuttuvat. Kaavat säilyvät, ja lopputulos päivittyy syötteiden mukana. Tämä on myös tarkistettavissa jälkikäteen, toisin kuin laskimeen näppäilty laskusarja.

Matematiikkaohjelmisto soveltuu symboliseen laskentaan ja kuvaajiin. Tällaisista kerromme tarkemmin GeoGebraa käsittelevässä artikkelissamme.

Muista ohjelmistoista löydät tietoa tietokoneohjelmistot-sivultamme ja sovelluksista sovellukset-osiostamme.

Huomioitavaa verkkolaskimissa

Verkkolaskimet ovat käteviä, mutta muutama asia kannattaa tiedostaa.

Verkkopalvelu voi muuttua ilman ennakkoilmoitusta. Automaattinen päivittyminen mainitaan yleensä etuna, mutta se tarkoittaa myös, ettei työkalu välttämättä toimi huomenna samoin kuin tänään.

Syötetyt tiedot kulkevat palveluntarjoajan järjestelmän kautta. Arkisissa laskuissa tällä ei ole merkitystä, mutta arkaluontoisia lukuja – kuten tarkkoja tulo- tai velkatietoja – ei kannata syöttää satunnaiseen verkkopalveluun.

Laskuri ei myöskään korvaa asiantuntijaa. Lainalaskurin antama luku on laskennallinen arvio, ei sitova tarjous.

Yhteenveto

Laskimen historia alkaa abakuksesta, ja mekaanisista laskukoneista ensimmäinen tunnettu oli Schickardin laskukello vuodelta 1623 – Pascalin Pascaline vuodelta 1642 oli ensimmäinen, joka todella valmistettiin ja säilyi.

Digitaalinen laskin ei laske desimaaliluvuilla tarkasti, vaan käyttää binääriä ja likiarvoja. Siksi 0,1 + 0,2 voi näyttää oudolta.

Kaksi laskinta voi antaa samasta lauseesta eri tuloksen laskujärjestyksen vuoksi, ja trigonometriassa yleisin virhelähde on väärä kulmatila.

Usein kysytyt kysymykset

Kuka keksi laskimen?
Ensimmäinen tunnettu mekaaninen laskukone oli Wilhelm Schickardin laskukello vuodelta 1623. Blaise Pascalin Pascaline vuodelta 1642 oli ensimmäinen, joka valmistettiin ja jota käytettiin. Laskemisen apuvälineitä, kuten abakusta, on käytetty tuhansia vuosia.

Miksi 0,1 + 0,2 ei ole tasan 0,3?
Tietokone tallentaa luvut binäärimuodossa, eivätkä kaikki desimaaliluvut muunnu binääriksi tarkasti. Kone käyttää likiarvoja, ja pieni epätarkkuus näkyy tuloksessa.

Miksi kaksi laskinta antaa eri tuloksen?
Yleensä laskujärjestyksen vuoksi. Yksinkertainen laskin laskee syöttöjärjestyksessä, tieteellinen laskin noudattaa matemaattista laskujärjestystä. Esimerkiksi 2 + 3 × 4 antaa tuloksen 20 tai 14.

Miksi sini antaa oudon tuloksen?
Todennäköisesti laskin on väärässä kulmatilassa. Asteet ja radiaanit antavat samasta syötteestä eri tuloksen: sin(90) on astetilassa 1 ja radiaanitilassa noin 0,894.

Mitä logaritmi tarkoittaa?
Logaritmi on eksponenttifunktion käänteisfunktio. Se kertoo, mihin potenssiin kantaluku on korotettava halutun luvun saamiseksi.

Milloin kannattaa käyttää taulukkolaskentaa laskimen sijaan?
Kun samat laskut toistuvat tai tiedot muuttuvat. Kaavat säilyvät, tulos päivittyy automaattisesti, ja laskenta on tarkistettavissa jälkikäteen.

Voiko verkkolaskimeen syöttää arkaluontoisia tietoja?
Ei kannata. Syötetyt tiedot kulkevat palveluntarjoajan järjestelmän kautta, joten tarkkoja talous- tai henkilötietoja ei kannata syöttää satunnaiseen verkkopalveluun.